Question

7．如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．設∠DAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），L為等腰梯形ABCD的周長．
（1）求周長L與θ的函數(shù)解析式；
（2）試問周長L是否存在最大值？若存在，請求出最大值，并指出此時θ的大小；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于AB是圓O的直徑，所以三角形ABD是直角三角形，連BD，過D作DE⊥AB于E，則由射影定理可知AD²=AE•AB，從而可用腰長表示上底長，進而可求梯形的周長y與腰長x之間的函數(shù)關系式，根據(jù)上底長，可確定函數(shù)的定義域；
（2）令t=cosθ，由$0＜θ＜\frac{π}{2}$，知t∈（0，1）．利用配方法可知函數(shù)函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）單調(diào)遞減，由此可求周長y的最大值．

解答 解：（1）連接BD，則∠ADB=90°，
∴AD=BC=4cosθ．…（2分）
作DE⊥AB于M，CN⊥AB于N，
得AM=BN=ADcosθ=4cos²θ，
∴DC=AB-2AM=4-8cos²θ． …（4分）
∴△ABC的周長L=AB+2AD+DC=4+8cosθ+（4-8cos²θ）=8+8cosθ-8cos²θ． …（5分）
（2）令t=cosθ，由$0＜θ＜\frac{π}{2}$，知t∈（0，1）．
則$L=-8{t^2}+8t+8=-8{（t-\frac{1}{2}）^2}+10$，…（8分）
當t=$\frac{1}{2}$，即$cosθ=\frac{1}{2}$，$θ=\frac{π}{3}$時，L有最大值10．
∴當θ=60°時，L存在最大值10．…（10分）

點評 本題以半圓為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，關鍵是腰長表示上底長，同時考查二次函數(shù)的最值求法．