Question

數(shù)列{a_n}滿足，當(dāng)x∈[a_n，a_n+1）時，f（x）=a_n-2，則方程2^f（x）=x的根的個數(shù)為

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：由已知可得數(shù)列{a_n}是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，即a_n=n-1，進(jìn)而可得當(dāng)x∈[n-1，n）時，f（x）=n-3，分析出函數(shù)y=f（x）和y=log₂x的圖象交點個數(shù)，即可得到方程2^f（x）=x的根的個數(shù)．
解答：∵，
∴數(shù)列{a_n}是首項為0，公差為1的等差數(shù)列
故a_n=n-1
又∵當(dāng)x∈[n-1，n）時，f（x）=n-3，
當(dāng)n=1時，x∈[0，1）時，f（x）=-2，
當(dāng)n=2時，x∈[1，2）時，f（x）=-1，
當(dāng)n=1時，x∈[2，3）時，f（x）=0，
當(dāng)n=1時，x∈[3，4）時，f（x）=1，
…
又由方程2^f（x）=x的根
即為f（x）=log₂x的根
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）和y=log₂x的圖象如下圖，

由圖可得y=f（x）和y=log₂x的圖象有兩個交點
故方程2^f（x）=x的根的個數(shù)為2個
故選C
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知分析出f（x）的表達(dá)式，是解答的關(guān)鍵．