Question

已知a，b，c都是正數(shù)，x，y，z∈R，且a+b+c=1，ax+by+cz=1，則函數(shù)f（x，y，z）=ax²+by²+cz²的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：a+b+c=1≥3

3	abc

（a=b=c=

1

3

時(shí)等號(hào)成立），ax+by+cz=1≥3

3	axbycz

，（ax=by=cz，等號(hào)成立），
函數(shù)f（x，y，z）=ax²+by²+cz²≥3

3	ax2by2cz2

（ax²=by²=cz²，等號(hào)成立），利用等號(hào)同時(shí)成立可得出最小值．

解答： 解：∵a，b，c都是正數(shù)，x，y，z∈R，且a+b+c=1，ax+by+cz=1，
∴a+b+c=1≥3

3	abc

（a=b=c=

1

3

時(shí)等號(hào)成立），ax+by+cz=1≥3

3	axbycz

，（ax=by=cz，等號(hào)成立），
∴函數(shù)f（x，y，z）=ax²+by²+cz²≥3

3	ax2by2cz2

（ax²=by²=cz²，等號(hào)成立）
∴可判斷：a=b=c=

1

3

，x=y=z=1時(shí)，三個(gè)不等式的等號(hào)同時(shí)成立，
∴f（x，y，z）=ax²+by²+cz²的最小值是1，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式在函數(shù)最值中的應(yīng)用，屬于難題．