Question

對于點集A={（x，y）|x=m，y=-3x+2，m∈N^*}，B={（x，y）|x=n，y=a（x²-x+1），a∈Z，n∈N^*}，是否存在非零整數(shù)a，使得A∩B=∅？

Answer 1

考點：交集及其運算

專題：集合

分析：當A∩B≠∅時，-3x+2=a（x²-x+1），ax²+（3-a）x+a-2=0有正整數(shù)解，解得a=-1，從而當A∩B=∅時，a≠-1，且a是非零整數(shù)．

解答： 解：當A∩B≠∅時，-3x+2=a（x²-x+1），
ax²+（3-a）x+a-2=0①有正整數(shù)解，
∴△=（3-a）²-4a（a-2）=-3a²+2a+9是平方數(shù)，
∴3a²-2a-9≤0，

1-2 7

3

≤a≤

1+2 7

3

，
a≠0，a∈Z，
∴a=±1，或a=2，
a=-1時△=4，這時①變?yōu)?x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3，
A∩B={（1，-1），（3，-7）}．
a=1時△=8，不是平方數(shù)．
a=2時△=1，這時①變?yōu)?x²+x=0，沒有正整數(shù)解．
∴當A∩B=∅時，a≠-1，且a是非零整數(shù)．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，函數(shù)性質(zhì)的合理運用．