Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面ABCD底面是邊長(zhǎng)為2的正方形， 為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）求直線MN與直線CD所成角的余弦值；

（2）求直線OB與平面OCD所成的角.

Answer 1

【答案】（1）（2）30°

【解析】

以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系. （1）計(jì)算出直線和直線的方向向量，根據(jù)夾角公式計(jì)算出兩條直線所成角的余弦值.（2）通過(guò)計(jì)算直線的方向向量，以及平面的法向量，代入線面角向量的計(jì)算公式，求得線面角的正弦值，由此得到線面角的大小.

由已知，AB,AD,AO所在直線兩兩互相垂直，故可建立如圖所示的空間的角坐標(biāo)系A-xyz.

則.

（1），

，

直線MN與CD所成角的余弦值為.

（2），

設(shè)平面OCD的一個(gè)法向量為，則，且，

即，且，而，

，令，則，，，

設(shè)OB與平面OCD所成角為，

則，

即OB與平面OCD所成角為.