Question

【題目】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，離心率是；

（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6．

Answer 1

【答案】（1）+=1或+=1；（2）+=1

【解析】

（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)a，c的值求出b的值，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；

（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，a＞b＞0，由已知條件推導(dǎo)出c=b=3，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解：（1）設(shè)橢圓的方程為：+=1（a＞b＞0）或+=1（a＞b＞0），

由已知得：2a=10，a=5，e==，故c=4，

故b2=a2-c2=25-16=9，

故橢圓的方程是：+=1或+=1；

（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，a＞b＞0，

∵在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6，如圖所示，

∴△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線（高），且OF=c，A1A2=2b，

∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．

故所求橢圓的方程為+=1．