Question

12．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，長為1的線段MN的一個端點M在棱DD₁上運動，點N在正方形ABCD內運動，則MN中點P的軌跡的面積為（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{16}$
• C． $\frac{π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 根據題意，連接N點與D點，得到一個直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點，所以|PD|的長度不變，進而得到點P的軌跡是球面的一部分．

解答 解：如圖可得，端點N在正方形ABCD內運動，連接N點與D點，
由ND，DM，MN構成一個直角三角形，
設P為MN的中點，根據直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得：
不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于$\frac{1}{2}$．
故P點的軌跡是一個以D為中心，半徑為$\frac{1}{2}$的球的$\frac{1}{8}$球面．
所以MN中點P的軌跡的面積為$\frac{π}{8}$，
故選：C．

點評 解決此類問題的關鍵是熟悉結合體的結構特征與球的定義以及其表面積的計算公式．