【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(2a+1)x+b,其中a,b∈R. (Ⅰ)當(dāng)a=1,b=﹣4時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(Ⅱ)如果函數(shù)f(x)的圖象在直線y=x+2的上方,證明:b>2;
(Ⅲ)當(dāng)b=2時(shí),解關(guān)于x的不等式f(x)<0.

【答案】解:(Ⅰ)由f(x)=x2+3x﹣4=0,解得x=﹣4,或x=1.

所以函數(shù)f(x)有零點(diǎn)﹣4和1.

(Ⅱ)證明:(方法1)因?yàn)閒(x)的圖象在直線y=x+2的上方,

所以ax2+(2a+1)x+b>x+2對(duì)x∈R恒成立.

即ax2+2ax+b﹣2>0對(duì)x∈R恒成立.

所以當(dāng)x=0時(shí)上式也成立,代入得b>2.

(方法2)因?yàn)閒(x)的圖象在直線y=x+2的上方,

所以ax2+(2a+1)x+b>x+2對(duì)x∈R恒成立.

即ax2+2ax+b﹣2>0對(duì)x∈R恒成立.

當(dāng)a=0時(shí),顯然b>2.

當(dāng)a≠0時(shí),

由題意,得a>0,且△=(2a)2﹣4a(b﹣2)<0,

則4a(b﹣2)>4a2>0,

所以4a(b﹣2)>0,即b>2.

綜上,b>2.

(Ⅲ)由題意,得不等式ax2+(2a+1)x+2<0,即(ax+1)(x+2)<0.

當(dāng)a=0時(shí),不等式化簡(jiǎn)為x+2<0,解得x<﹣2;

當(dāng)a≠0時(shí),解方程(ax+1)(x+2)=0,得根x1=﹣2,

所以,當(dāng)a<0時(shí),不等式的解為:x<﹣2,或 ;

當(dāng) 時(shí),不等式的解為:

當(dāng) 時(shí),不等式的解集為;

當(dāng) 時(shí),不等式的解為:

綜上,當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為{x|x<﹣2,或 ;

當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為{x|x<﹣2};

當(dāng) 時(shí),不等式的解集為 ;

當(dāng) 時(shí),不等式的解集為;

當(dāng) 時(shí),不等式的解集為


【解析】(Ⅰ)解方程x2+3x﹣4=0,即可得到所求零點(diǎn);(Ⅱ)(方法1)由題意可得ax2+(2a+1)x+b>x+2對(duì)x∈R恒成立.考慮x=0,可得結(jié)論;

(方法2)由題意可得ax2+2ax+b﹣2>0對(duì)x∈R恒成立.討論當(dāng)a=0時(shí),當(dāng)a≠0時(shí),得a>0,且△=(2a)2﹣4a(b﹣2)<0,即可得證;(Ⅲ)由題意可得(ax+1)(x+2)<0,對(duì)a討論,當(dāng)a<0,a=0,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),運(yùn)用二次不等式的解法,即可得到所求解集.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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