Question

(本小題滿分12分)      已知函數f (x) = ax² + 2ln(1-x)，其中a∈R.

（1）是否存在實數a，使得f (x)在x =處取極值？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由；

（2）若f (x)在[-1,]上是減函數，求實數a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）f (x)定義域為{x | x<1}，f ′(x) = 2ax   

假設存在實數a，使f (x)在x =處取極值，則

f ′() = a – 4 = 0， ∴a = 4           ------------------ 3分

此時，f ′(x) = 8x = 

當x <時，f ′(x) < 0；當<x<1時，f ′(x) < 0.

∴x =不是f (x)的極值點，

故不存在實數a，使f (x)在x =處極值         ------------- 6分

（2）解法一：依題意知：當x∈[-1,]時，f ′(x) ≤0恒成立，

f ′(x)≤02ax – ≤0ax≤ 

①當x = 0時，不等式顯然成立；

②當-1≤x<0時，a≥

∵-1≤x<0   ∴ x (1 – x) = – (x –)² + ∈

∴≤   ∴a≥                    ------------- 9分

③當0<x≤時，a≤

∵x∈，∴x (1 – x) = – (x –)² + ∈

∴≥4   ∴a≤4

綜上可知，≤a≤4為所求                 ---------------- 12分

解法二：依題意知：當x∈[-1,]時，f ′(x) ≤0恒成立，

f ′(x) ≤02ax – ≤0≥0ax² – ax + 1≥0

令g (x) = ax² – ax + 1 = a (x)² + 1, x∈ 

①  當a = 0時，g (x) = 1>0成立；

②當a>0時，g (x)在上遞減，則

g (x)_min = g () = 1≥0   ∴0<a≤4         ------------ 9分

③當a<0時，g (x)在上遞增，則

g (x)_min = g (-1) = 2a + 1≥0   ∴0>a≥ 

綜上，≤a≤4為所求                -------------------- 12分

【命題分析】本題主要考查運用導數研究函數性質的方法，分類討論的數學思想和分析推理能力.

【解析】略