Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）在（2）的條件下求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用f（0）=0，即可求出a的值；
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），
即不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即a-

2

1+1

=a-1=0，解得a=1；
（3）當(dāng)a=1時，f（x）=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，0＜

2

2x+1

＜2，
-2＜-

2

2x+1

＜0，
-1＜1-

2

2x+1

＜1，即-1＜f（x）＜1，
即此時f（x）的值域為（-1，1）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)值域的求解，利用定義法以及分式函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．