已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令
HA
=
a
，
HB
=
b
，
HC
=
c
，
HO1
=
p
，求證：
（1）2
p
=
b
+
c
-
a
；
（2）H為△O1O2O3的外心．
考點：平面向量的基本定理及其意義,三角形五心
專題：平面向量及應用
分析：（1）作出△ABC的外接圓圓心O，取BC的中點M，連接OM，HO，設HO交AM與點G，證明G為△ABC的重心，
利用重心與A、B、C的關系，求出
OH
與
OG
的關系式，證出2
HO1
=
HB
+
HC
-
HA
即可；
（2）證明點O是△O1O2O3的垂心，再證明
HO
=
HO1
+
HO2
+
HO3
，即得點H為△O1O2O3的外心．
解答： 解：（1）證明：如圖所示，
設O是△ABC的外接圓的圓心，取BC的中點M，連接OM，HO，
設HO交AM與點G，則
AG
GM
=
AH
OM
=2，
∴G為△ABC的重心，
∴
OG
=
OA
+
OB
+
OC
3
；
又
GH
OG
=
AH
OM
=2，
∴
OH
=3
OG
=
OA
+
OB
+
OC
；
又∵A、B、C、H為垂心四點組，
即H為△ABC的垂心，A為△HBC的垂心，B為△HCA的垂心，C為△HAB的垂心；
∴在△HBC中，O1為△HBC的外心，A為垂心，
∴
O1A
=
O1H
+
O1B
+
O1C
，（*）
其中
O1A
=
O1H
+
HA
，
O1B
=
O1H
+
HB
，
O1C
=
O1H
+
HC
；
代入（*）中整理得，2
O1H
=
HA
-
HB
-
HC
，
即2
HO1
=
HB
+
HC
-
HA
，
∴2
p
=
a
+
b
-
c
；
（2）證明：∵O2O3是AH的中垂線，
∴點O是△O1O2O3的垂心，
現(xiàn)在證明
HO
=
HO1
+
HO2
+
HO3
，
由（1）知，2
HO1
+2
HO2
+2
HO3
=
HA
+
HB
+
HC

=3
HO
+（
OA
+
OB
OC
）
=3
HO
+
OH
=2
HO
，
∴
HO
=
HO1
+
HO2
+
HO3
，
即點H為△O1O2O3的外心．
點評：本題考查了平面向量的應用問題，也考查了三角形的四心問題的應用題目，是較難的題目．
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．

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已知向量
m
=（cosx，sinx），
n
=（cosx，
3
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m
•
n
+a（a∈R且a為常數(shù)）
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π
2
]上的最大值與最小值的和為2，求a的值；
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1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3，求tanC的值．

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．
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（2）求證：面AMN∥面EFBD．

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