Question

棱長為a的正方體AC1中，設M、N、E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點．
（1）求證：E、F、B、D四點共面；
（2）求證：面AMN∥面EFBD．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,平面的基本性質及推論

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）只要證明EF∥BD即可；
（2）利用面面平行的判定定理，只要判斷EF∥MN，FB∥AN，即可．

解答： 證明：（1）因棱長為a的正方體AC1中，設E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點，
所以EF∥B₁D₁，
又B₁D₁∥BD，
所以EF∥BD，
所以E、F、B、D四點共面；
（2）因為M、N、E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點．
所以EF∥B₁D₁∥MN，
即EF∥MN，
連接FN，由四邊形A₁B₁FN是平行四邊形，

所以FN∥A₁B₁，又A₁B₁∥AB，
所以FN∥AB，FN=AB，
所以FB∥AN，又EF∩FB=F，MN∩AN=N，
所以面AMN∥面EFBD．

點評：本題考查了以正方體為載體的四點共面以及面面平行的判定，關鍵是正確利用正方體的性質以及已知為面面平行創(chuàng)造條件．