Question

20．若f（x）=$\frac{2x-a}{{x}^{2}+2}$（x∈R）在區(qū)間[-1，2]上是增函數(shù)，則a=1．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{-2{x}^{2}+2ax+4}{（{x}^{2}+2）^{2}}$，由f（x）在區(qū)間[-1，2]上是增函數(shù)便可得出-2x²+2ax+4≥0在x∈[-1，2]上恒成立，可設(shè)g（x）=-2x²+2ax+4，則有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出a的值．

解答 解：$f′（x）=\frac{-2{x}^{2}+2ax+4}{（{x}^{2}+2）^{2}}$；
∵f（x）在區(qū)間[-1，2]上是增函數(shù)；
∴f′（x）≥0在x∈[-1，2]上恒成立；
∴-2x²+2ax+4≥0在x∈[-1，2]上恒成立；
設(shè)g（x）=-2x²+2ax+4，則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2-2a≥0}\\{g（2）=4a-4≥0}\end{array}\right.$；
∴解得a=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象，并注意正確求導(dǎo)．