Question

12．已知函數(shù)f（x）=2ax²+bx+1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求函數(shù)F（x）=f（x）e^x的單調區(qū)間；
（2）若b=e-1-2a，方程f（x）=e^x在（0，1）內有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系即可求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關系轉化為函數(shù)存在零點問題，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點之間的關系進行轉化求解即可．

解答 解：（1）若a=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)（x）=（x²+bx+1）e^x，
則F′（x）=（2x+b）e^x+（x²+bx+1）e^x=[x²+（b+2）x+b+1]e^x=（x+1）[x+（b+1）]e^x，
由F′（x）=0得（x+1）[x+（b+1）]=0，即x=-1或x=-（b+1），
①若b+1=1，即b=0時，F(xiàn)′（x）=（x+1）²e^x≥0，此時函數(shù)單調遞增，單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞），
②若-（b+1）＜-1，即b＞0時，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，即x＞-1或x＜-（b+1），
此時函數(shù)單調遞增，單調遞增區(qū)間為（-∞，-（b+1）），（-1，+∞），
由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，即-（b+1）＜x＜-1，
此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（-（b+1），-1），
③若-（b+1）＞-1，即b＜0時，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，解得：x＞-（b+1）或x＜-1，
此時函數(shù)單調遞增，單調遞增區(qū)間為（-∞，-1），（-（b+1），+∞），
由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，解得：-1＜x＜-（b+1），
此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（-1，-（b+1））；
（2）方程f（x）=e^x在（0，1）內有解，即2ax²+bx+1=e^x在（0，1）內有解，
即e^x-2ax²-bx-1=0，
設g（x）=e^x-2ax²-bx-1，
則g（x）在（0，1）內有零點，
設x₀是g（x）在（0，1）內的一個零點，
則g（0）=0，g（1）=0，知函數(shù)g（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上不可能單調遞增，也不可能單調遞減，
設h（x）=g′（x），
則h（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上存在零點，
即h（x）在（0，1）上至少有兩個零點，
g′（x）=e^x-4ax-b，h′（x）=e^x-4a，
當a≤$\frac{1}{4}$時，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個及以上零點，
當a≥$\frac{e}{4}$時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個及以上零點，
當$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$時，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），
則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．
若h（x）有兩個零點，則有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，
h（ln（4a））=4a-4aln（4a）-b=6a-4aln（4a）+1-e，$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$，
設φ（x）=$\frac{3}{2}$x-xlnx+1-x，（1＜x＜e），
則φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx，
令φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx=0，得x=$\sqrt{e}$，
當1＜x＜$\sqrt{e}$時，φ′（x）＞0，此時函數(shù)φ（x）遞增，
當$\sqrt{e}$＜x＜e時，φ′（x）＜0，此時函數(shù)φ（x）遞減，
則φ（x）_max=φ（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$+1-e＜0，
則h（ln（4a））＜0恒成立，
由h（0）=1-b=2a-e+2＞0，h（1）=e-4a-b＞0，
得$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
當$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$時，設h（x）的兩個零點為x₁，x₂，則g（x）在（0，x₁）遞增，
在（x₁，x₂）上遞減，在（x₂，1）遞增，
則g（x₁）＞g（0）=0，
g（x₂）＜g（1）=0，
則g（x）在（x₁，x₂）內有零點，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{e-2}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調性和單調區(qū)間的求解和判斷，利用函數(shù)單調性的性質以及函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．