Question

20．已知a＞0，b＞0，b為常數(shù)，函數(shù)f（x）=ax-bx²．
（I）若對(duì)x∈R都有f（x）≤1，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）為單調(diào)函數(shù)，證明：b≤1；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[0，1]，都|f（x）|≤1，求a的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由開(kāi)口方向和最大值，可得a，b的關(guān)系，由區(qū)間內(nèi)單調(diào)，可得a，b關(guān)系，兩者結(jié)合得到范圍．
（Ⅱ）對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，由此得到最值的絕對(duì)值小于等于1，得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（$\frac{a}{2b}$）=1，∴$\frac{{a}^{2}}{4b}$=1，∴a=2$\sqrt$，
又$\frac{a}{2b}$≥1，∴2b≤a，
∴2b≤2$\sqrt$，∴b≤1，
（Ⅱ）①當(dāng)$\frac{a}$＞1時(shí)，f（$\frac{a}{2b}$）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{a=2\sqrt}\end{array}\right.$，
∴a²=4b＜4a，
∴0＜a＜4；
②$\frac{a}$＞1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{a}{2b}）=1}\\{f（1）≥-1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{{a}^{2}=4b}\\{a-b≥-1}\end{array}\right.$，
∴a²=4b＜4a，
∴0＜a＜4，
∵b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-1，∴a²-4a-4≤0，
∴2-2$\sqrt{2}$≤a≤2+2$\sqrt{2}$
綜上所述，0＜a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要有開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，單調(diào)性和最值．