Question

10．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CB⊥平面BAA₁B₁，且四邊形BAA₁B₁是正方形，M，N分別是AA₁，BC的中點(diǎn)．
（I）求證：AB₁⊥CA₁；
（Ⅱ）求證：AN∥平面MB₁C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出AB₁⊥A₁B，AB₁⊥CB，由此能證明AB₁⊥CA₁．
（Ⅱ）設(shè)BC₁∩B₁C=O，連結(jié)NO、MO，推導(dǎo)出四邊形AMON是平行四邊形，從而AN∥MO，由此能證明AN∥平面MB₁C．

解答 證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CB⊥平面BAA₁B₁，且四邊形BAA₁B₁是正方形，
∴AB₁⊥A₁B，AB₁⊥CB，
∵A₁B∩CB=B，∴AB₁⊥平面A₁BC，
∵CA₁?平面A₁BC，∴AB₁⊥CA₁．
（Ⅱ）設(shè)BC₁∩B₁C=O，連結(jié)NO、MO，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴O是B₁C的中點(diǎn)，
∵M(jìn)，N分別是AA₁，BC的中點(diǎn)，
∴NO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，AM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，∴NO$\underset{∥}{=}$AM，
∴四邊形AMON是平行四邊形，∴AN∥MO，
∵AN?平面MB₁C，MO?平面MB₁C，
∴AN∥平面MB₁C．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．