Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-lnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=x-t，若函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上（這里e≈2.718）恰有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求解f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，利用不等式得出單調(diào)性即可．
（2）轉(zhuǎn)化為t=x-x²+lnx在[$\frac{1}{e}$，e]恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)令k（x）=x-x²+lnx利用k′（x）=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$求解最值．

解答 解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x+\frac{\sqrt{2}}{2}）（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）}{x}$，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
（2）函數(shù)函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）=x-t-x²+lnx在[$\frac{1}{e}$，e]恰有兩個不同的零點(diǎn)，
等價于t=x-x²+lnx在[$\frac{1}{e}$，e]恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根
令k（x）=x-x²+lnx則k′（x）=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，1）時，k′（x）＞0，k（x）在（$\frac{1}{e}$，1）遞增，
當(dāng)（1，e）時，k′（x）＜0，k（x）在（1，e）遞減）
故k_max（x）=k（1）=0，k（$\frac{1}{e}$）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$$+\frac{1}{e}$-1，k（e）=-e²+e+1，
所以t∈[$-\frac{1}{{e}^{2}}$$+\frac{1}{e}$-1，0]

點(diǎn)評 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)問題中的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用求解參變量的范圍問題．