Question

5．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sin\frac{π}{2}x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，（a，b∈R），有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A． （-4，-$\frac{3}{2}$）
• B． （-4，-$\frac{7}{2}$）
• C． （-4，-$\frac{7}{2}$）∪（-$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （-$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 由題意可得令t=f（x），y=t₁在（0，$\frac{3}{2}$）有兩個(gè)交點(diǎn)，y=t₂在（$\frac{3}{2}$，2）有四個(gè)交點(diǎn)，y=2與y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，y=t在（$\frac{3}{2}$，2）有四個(gè)交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，（a，b∈R），
有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
令t=f（x），則t²+at+b=0，
作y=f（x）的圖象，
由圖象知，
y=t₁在（0，$\frac{3}{2}$）有兩個(gè)交點(diǎn)，
y=t₂在（$\frac{3}{2}$，2）有四個(gè)交點(diǎn)，
由t₁+t₂=-a，即有-a∈（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$），
即a∈（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
或y=2與y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，
y=t在（$\frac{3}{2}$，2）有四個(gè)交點(diǎn)，
由2+t=-a∈（$\frac{7}{2}$，4），
可得a∈（-4，-$\frac{7}{2}$）．
故a的范圍是（-4，-$\frac{7}{2}$）∪（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．