Question

5．已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)F（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F且斜率為2的直線交軌跡C于S，T兩點(diǎn)，求弦ST的長度；
（3）已知點(diǎn)B（-1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義和題設(shè)中的條件可知點(diǎn)M是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2，進(jìn)而求得拋物線方程．
（2）直線方程為y=2（x-1），代入y²=4x，可得x²-3x+1=0，利用拋物線的定義，即可求弦ST的長度；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0．利用角平分線的性質(zhì)可得k_PB=-k_QB，可化為化為4+y₁y₂=0．又直線PQ的方程代入化簡整理為y（y₁+y₂）+4=4x，令y=0，則x=1即可得到定點(diǎn)．

解答 （1）解：由已知，點(diǎn)M到直線x=-1的距離等于到點(diǎn)（1，0）的距離，所以點(diǎn)M是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4x；
（2）解：直線方程為y=2（x-1），代入y²=4x，可得x²-3x+1=0，
設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），則x₁+x₂=3，∴|ST|=x₁+x₂+2=5；
（3）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0．
∵x軸是∠PBQ的角平分線，∴k_PB=-k_QB，
∴化為4+y₁y₂=0．
直線PQ的方程為y-y₁=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{1}}$（x-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$），
化為y（y₁+y₂）+4=4x，令y=0，則x=1，
∴直線PQ過定點(diǎn)（1，0）

點(diǎn)評 本題綜合考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線相交問題、直線方程及過定點(diǎn)問題、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．