Question

14．已知橢圓x²+2y²=1，過原點的兩條直線l₁和l₂分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S．
（1）設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐標表示點C到直線l₁的距離，并證明S=2|x₁y₂-x₂y₁|；
（2）設l₁與l₂的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，求面積S的值．

Answer 1

分析 （1）依題意，直線l₁的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，利用點到直線間的距離公式可求得點C到直線l₁的距離d=$\frac{|{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，再利用|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，可證得S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；當l₁與l₂時的斜率之一不存在時，同理可知結論成立；
（2）方法一：設直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-$\frac{1}{2k}$，可得直線l₁與l₂的方程，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x}^{2}+2{y}^{2}=1\end{array}\right.$，可求得x₁、x₂、y₁、y₂，繼而可求得答案．
方法二：設直線l₁、l₂的斜率分別為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，利用A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在橢圓x²+2y²=1上，可求得面積S的值．

解答 解：（1）依題意，直線l₁的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，由點到直線間的距離公式得：點C到直線l₁的距離d=$\frac{|\frac{{y}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}|}{\sqrt{1+{（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}）}^{2}}}$=$\frac{|{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，
因為|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，所以S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；
當l₁與l₂時的斜率之一不存在時，同理可知結論成立；
（2）方法一：設直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-$\frac{1}{2k}$，
設直線l₁的方程為y=kx，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x}^{2}+2{y}^{2}=1\end{array}\right.$，消去y解得x=±$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
根據(jù)對稱性，設x₁=$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，則y₁=$\frac{k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
同理可得x₂=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，所以S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．
方法二：設直線l₁、l₂的斜率分別為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以x₁x₂=-2y₁y₂，
∴${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=4${{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$=-2x₁x₂y₁y₂，
∵A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在橢圓x²+2y²=1上，
∴（${{x}_{1}}^{2}{{+2y}_{1}}^{2}$）（${{x}_{2}}^{2}{{+2y}_{2}}^{2}$）=${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$+4${{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+2（${{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}$）=1，
即-4x₁x₂y₁y₂+2（${{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}$）=1，
所以（x₁y₂-x₂y₁）²=$\frac{1}{2}$，即|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查方程思想、等價轉化思想與綜合運算能力，屬于難題．