Question

8．若數(shù)列{C_n}滿足①$\sqrt{{c}_{n}{c}_{n+2}}$≤c_n+1，②存在常數(shù)M（M與n無關(guān)），使c_n≤M．則稱數(shù)列{c_n}是“和諧數(shù)列”．
（1）設(shè)S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₄=2，S₄=30，求證：數(shù)列{S_n}是“和諧數(shù)列”；
（2）設(shè){a_n}是各項為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項和，求證：數(shù)列{S_n}是“和諧數(shù)列”的充要條件為0＜q＜1．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式由已知條件求出首項和公比，由此求出S_n=32-$\frac{1}{{2}^{n-5}}$，得到存在常數(shù)M=32，使得S_n＜32恒成立，從而能證明數(shù)列{S_n}是和諧數(shù)列．
（2）先證明充分性：已知等比數(shù)列{b_n}，且0＜q＜1，則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$＜$\frac{{a}_{1}}{1-q}$．再證明必要性：反證法證明即可．

解答 證明：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，則q＞0，q≠1，
∵a₄=2，S₄=30，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{3}=2}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}=30}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=16}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴S_n=32-$\frac{1}{{2}^{n-5}}$…（3分）
∴$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n+2}}$=$\sqrt{（32-\frac{1}{{2}^{n-5}}）（32-\frac{1}{{2}^{n-3}}）}$＜$\sqrt{3{2}^{2}-2×32×\frac{1}{{2}^{n-4}}+\frac{1}{{2}^{2n-8}}}$=32-$\frac{1}{{2}^{n-4}}$=S_n+1，
又S_n=32-$\frac{1}{{2}^{n-5}}$＜32，
∴存在常數(shù)M=32，使得S_n＜32恒成立．
∴數(shù)列{S_n}是和諧數(shù)列．…（7分）
（2）證明：充分性：已知等比數(shù)列{b_n}，且0＜q＜1，
則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$＜$\frac{{a}_{1}}{1-q}$
令M=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，則S_n＜M，
∵S_n•S_n+2=（$\frac{{a}_{1}}{1-q}$）²（1-qⁿ-qⁿ⁺²+q²ⁿ⁺²）
＜（$\frac{{a}_{1}}{1-q}$）²（1-2qⁿ⁺¹+q²ⁿ⁺²）=S_n+1²，
∴{S_n}是和諧數(shù)列．…（9分）
必要性：已知等比數(shù)列{a_n}，各項均為正數(shù)，S_n是其前n項和，
{S_n}是和諧數(shù)列，∵a_n＞0，∴q＞0．
下面反證法證明：q＜1…（10分）
若q=1，則S_n=na₁，∴不存在M使na₁＜M對于n∈N^*恒成立；…（11分）
若q＞1，則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}}{1-q}•{q}^{n}$，
對于給定的正數(shù)M，
令$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}}{1-q}•{q}^{n}$＞M，
∵q＞1，
∴n＞$lo{g}_{q}（\frac{q-1}{{a}_{1}}M+1）$，
即當n＞$lo{g}_{q}（\frac{q-1}{{a}_{1}}M+1）$時，總有S_n＞M
即即存在常數(shù)M，使得S_n＜M對于n∈N^*恒成立．
綜上所述：{S_n}是和諧數(shù)列的充要條件為：0＜q＜1．…（13分）

點評 本題考查數(shù)列的和諧數(shù)列的證明，考查{S_n}是和諧數(shù)列的充要條件為：0＜q＜1的證明，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用．