Question

18．在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）（n∈N^*），其中實數c≠0．
（1）求a₂，a₃，并由此歸納出{a_n}的通項公式
（2）用數學歸納法證明（Ⅰ）的結論．

Answer 1

分析 （1）代值計算即可，并猜測a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
（2）用數學歸納法證明．

解答 解：（1）由a₁=1，a₂=ca₁+c²3=（2²-1）c²+c
a₃=ca₂+c³•5=（3²-1）c³+c²，
猜測a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
（2）下面用數學歸納法證明，
當n=1是，等式成立，
假設當n=k，等式成立即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，
則當n=k+1時a_k+1=ca_k+c^k+1（2k+1）=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，
綜上a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，對任意n∈N都成立．

點評 本題主要考查了數列的遞推式、數學歸納法，考查了學生綜合運用所學知識和實際的運算能力