Question

11．已知函數(shù)f（x）=2sin2x．將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知區(qū)間[m，n]（m，n∈R且m＜n）滿足：y=g（x）在[m，n]上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的[m，n]中，求n-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得g（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）利用正弦函數(shù)的零點和周期性，求得n-m的最小值．

解答 解：（1）把函數(shù)f（x）=2sin2x 的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的圖象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{6}$，]，k∈Z．
（2）令g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1=0，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{2π}{3}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{3}$，
即x=kπ-$\frac{π}{2}$，或 x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z．
故函數(shù)g（x）在一個周期上有兩個零點．
根據(jù)y=g（x）在[m，n]上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的[m，n]中，
當n-m的最小值時，可取m=-$\frac{π}{2}$，n=14π-$\frac{π}{3}$，此時，n-m=14π+$\frac{π}{6}$=$\frac{85π}{6}$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、零點和周期性，屬于中檔題．