Question

7．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足$f（{log_2}a）+f（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2f（1）$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2]
• B． $[\frac{1}{2}，2]$
• C． [2，+∞）
• D． $（0，\frac{1}{2}]∪[{2，+∞}）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可比較大�。�

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴不等式$f（{log_2}a）+f（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2f（1）$，
等價(jià)為f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），f（log₂a）≤f（1），
即f（|log₂a|）≤f（1），
∵在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴|log₂a|≥1，
即log₂a≥1或log₂a≤-1，
解得a≥2或0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．