Question

19．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C₁的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=）=2（cosθ+sinθ）．利用P（x，y），ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，化簡(jiǎn)得出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程：（x-1）²+（y-1）²=2，可以判斷是一個(gè)圓．
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，半徑=$\sqrt{2}$，利用圓的幾何性質(zhì)得出曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C₁的距離的最大值d+r=2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消參數(shù)；y+4=x+2，
即y=x-2，
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=2（cosθ+sinθ）．
P（x，y），ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρ²=2ρ（cosθ+sinθ）．
即x²+y²=2x+2y，
曲線C₂的直角坐標(biāo)方程：（x-1）²+（y-1）²=2，
（2）∵曲線C₁的y=x-2，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程：（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，半徑=$\sqrt{2}$，
曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C₁的距離的最大值2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線，圓的方程的參數(shù)方程轉(zhuǎn)為普通方程，利用直線方程，圓的方程解決距離問(wèn)題，思路簡(jiǎn)單，屬于容易題，關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為普通方程．