Question

11．拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）（m＞0）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線$\frac{x^2}{a}-{y^2}$=1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則雙曲線的離心率為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由題意可求拋物線線y²=2px的準(zhǔn)線，從而可求p，進(jìn)而可求M，由雙曲線方程可求A，根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，由斜率相等可求a，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：拋物線線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-4
∴p=8，
則點(diǎn)M（1，4），雙曲線$\frac{x^2}{a}-{y^2}$=1的左頂點(diǎn)為A（-$\sqrt{a}$，0），
所以直線AM的斜率為k=$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$，
由題意可知：$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$=$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴a=$\frac{1}{9}$，
∴雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}{\frac{1}{3}}$=$\sqrt{10}$，
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用拋物線的定義求出拋物線的準(zhǔn)線方程．