Question

【題目】在單調(diào)遞增數(shù)列中, ,且成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列，.

（1）①求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

②求數(shù)列通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②當(dāng)為偶數(shù)時,當(dāng)為奇數(shù)時；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)等差中項和等比中項有，化簡得，所以數(shù)列為等差數(shù)列；②由①得首項為公差為，所以，即，結(jié)合可得,因此,當(dāng)為偶數(shù)時,當(dāng)為奇數(shù)時；（2），另外，，故，所以，利用裂項求和法求得.

試題解析：

（1）①因為數(shù)列單調(diào)遞增數(shù)列,, 由題意 成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列得. ,于是 , 化簡得 , 所以數(shù)列為等差數(shù)列.

②又,所以數(shù)列的首項為,公差為,從而.結(jié)合可得,因此,

當(dāng)為偶數(shù)時,當(dāng)為奇數(shù)時.

（2）求數(shù)列通項公式為:

,

因為

,所以,

則有.