Question

【題目】已知函數(shù) ，

（1）若曲線在點處的切線為，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）設(shè)函數(shù)，若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，增區(qū)間為；當時，增區(qū)間為，，減區(qū)間為；當時，增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先求得的定義域及導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）分、、討論的導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）首先根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為有解，然后令，從而通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，并求得其最小值，進而求得實數(shù)的取值范．

試題解析：（1）的定義域為，，

∴，，

解得，∴．

（2），

當時，，∴的單調(diào)增區(qū)間為

當時，由，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，

由，∴的單調(diào)減區(qū)間為.

當時，由，∴的單調(diào)減區(qū)間為，

由，∴的單調(diào)減區(qū)間為.

綜上所述：當時， ，∴的單調(diào)增區(qū)間為，

當時，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，的單調(diào)減區(qū)間為

當時，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，的單調(diào)減區(qū)間為.

（3）若至少存在一個，使得，∴，

當時，，∴有解，令，

∴

，∴在上單調(diào)遞減，

∴得，．