Question

13．設(shè)F₁、F₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$，則∠F₁PF₂=（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由題意方程求得焦距，利用平面向量的減法運(yùn)算得到$\overrightarrow{P{F}_{1}}-\overrightarrow{P{F}_{2}}=\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$，與已知|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$同時(shí)兩邊平方后可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，由此可得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}-\overrightarrow{P{F}_{2}}=\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$，則$（\overrightarrow{P{F}_{1}}-\overrightarrow{P{F}_{2}}）^{2}={\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}}^{2}$，
即$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}-2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}=|\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}{|}^{2}$=12，
由|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$，得$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}=12$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，即$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是中檔題．