Question

3．已知a＞0，b＞0，方程為x²+y²-4x+2y=0的曲線關(guān)于直線ax-by-1=0對(duì)稱，則$\frac{a+2b}{ab}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由題意可得直線過(guò)圓心，可得2a+b=1，進(jìn)而可得$\frac{a+2b}{ab}$=$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$=（$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$）（2a+b）=5+$\frac{2a}$+$\frac{2b}{a}$，由基本不等式求最值可得．

解答 解：由題意可得直線ax-by-1=0過(guò)圓x²+y²-4x+2y=0的圓心（2，-1），
∴2a+b-1=0，即2a+b=1，∴$\frac{a+2b}{ab}$=$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$=（$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$）（2a+b）
=5+$\frac{2a}$+$\frac{2b}{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{2b}{a}}$=9
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2a}$=$\frac{2b}{a}$即a=b=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{a+2b}{ab}$的最小值為9
故答案為：9

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及圓的知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．