Question

設函數(shù)f（x）=x²-ax+b（a、b為常數(shù)）．
（1）如果函數(shù)f（x）是區(qū)間[b-2，b]上的偶函數(shù)，求a、b的值；
（2）設函數(shù)g（x）=log₂x．
①判斷g（x）在區(qū)間[1，4]上的單調性，并寫出g（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值和最大值；
②閱讀下面題目及解法：
題目：對任意x∈[1，4]，2^x+m恒大于1，求實數(shù)m的取值范圍．
解：設h（x）=2^x+m，則對任意x∈[1，4]，2^x+m恒大于1?當x∈[1，4]，h（x）_min＞1．
由h（x）在區(qū)間[1，4]上遞增，知h（x）_min=h（1）=2+m＞1，所以m＞-1．
學習以上題目的解法，試解決下面問題：
當f（x）中的a=4時，若對任意x₁、x₂∈[1，4]，f（x₁）恒大于g（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義,類比推理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)定義域關于原點對稱，得到b-2+b=0求出b的值，又因為是偶函數(shù)，則a=0；
（2）①顯然遞增，據(jù)此求出最值；
②實際上是將不等式恒成立問題轉化為函數(shù)的最值來解，因此只需利用單調性求出f（x₁）_min以及g（x₂）_max則問題可解．

解答： 解：（1）因為函數(shù)f（x）是區(qū)間[b-2，b]上的偶函數(shù)，所以b-2+b=0，所以b=1，由f（-x）=f（x）恒成立得-ax=ax恒成立，故a=0，所以a=0．b=1即為所求；
（2）①因為2＞1，所以對數(shù)函數(shù)y=log₂x在[1，4]上遞增，所以y_min=log₂1=0，y_max=log₂4=2；
②a=4時，f（x）=x²-4x+b=（x-2）²+b-4，所以f（x）在[1，2]上遞減，在[2，4]上遞增，所以當x=2時，f（x）_min=b-4；由①知，g（x）_max=2．
而要使對任意x₁、x₂∈[1，4]，f（x₁）恒大于g（x₂），只需f（x₁）_min≥g（x₂）_max，即b-4≥2即可
解得b≥6即為所求．

點評：本題重點考查了利用單調性求最值得基本思想，以及恒成立問題轉化為函數(shù)的最值來解的基本思路，要注意體會，多加練習．