Question

2．設(shè)F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在雙曲線的兩條漸近線上，AF⊥x軸，BF∥OA，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則該雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)k_OB=-$\frac{a}$，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得k_AB=$\frac{a}$，再求出A，B的坐標(biāo)，可得k_AB=$\frac{3b}{a}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)k_OB=-$\frac{a}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴k_AB=$\frac{a}$，
直線FB的方程為y=$\frac{a}$（x-c），
與y=-$\frac{a}$x聯(lián)立可得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$）
∵A（c，$\frac{bc}{a}$），
∴k_AB=$\frac{3b}{a}$=$\frac{a}$，
∴b²=$\frac{1}{3}$a²，
∴c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．