分析 (1)先求函數(shù)f(x)=-lnx+x2的定義域,再求導f′(x)=-$\frac{1}{x}$+2x=$\frac{(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x-1)}{x}$;從而由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由(1)知f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{4}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上是減函數(shù),在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{3}{4}$]上是增函數(shù),從而求閉區(qū)間上的最值.
解答 解:(1)f(x)=-lnx+x2的定義域為(0,+∞),
f′(x)=-$\frac{1}{x}$+2x=$\frac{(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x-1)}{x}$;
∴當x∈(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)時,f′(x)<0,
當x∈($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)時,f′(x)>0,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),單調(diào)增區(qū)間為($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞);
(2)由(1)知,
f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{4}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上是減函數(shù),在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{3}{4}$]上是增函數(shù),
fmax(x)=f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2,
f($\frac{1}{4}$)=$\frac{1}{16}$+ln4,f($\frac{3}{4}$)=$\frac{9}{16}$+ln4-ln3=$\frac{1}{16}$+ln4+$\frac{1}{2}$-ln3<$\frac{1}{16}$+ln4;
故fmin(x)=f($\frac{3}{4}$)=$\frac{9}{16}$+ln4-ln3.
點評 本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及閉區(qū)間上最值的求法,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 偶函數(shù),且單調(diào)遞增 | B. | 偶函數(shù),且單調(diào)遞減 | ||
C. | 奇函數(shù),且單調(diào)遞增 | D. | 奇函數(shù),且單調(diào)遞減 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{π}{3}$ | B. | $\frac{5π}{12}$ | C. | $\frac{7π}{12}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 在△ABC中,角A,B所對邊分別為a,b則sinA>sinB成立的充要條件是a>b | |||||||||
B. | 若命題p:?x∈(0,+∞),sinx-x<0,命題q:?x0∈(0,+∞),e${\;}^{{x}_{0}}$<0,則p∧¬q為真命題 | |||||||||
C. | 若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,則存在唯一的實數(shù)λ,使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$ | |||||||||
D. | 在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得k2=6.721,則有99%的把握確認這兩個變量間有關(guān)系;可以參考獨立性檢驗臨界表
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 102 | B. | 104 | C. | 112 | D. | 114 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-1,0) | B. | (0,1) | C. | (1,2) | D. | (2,3) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{6}$ | B. | $\sqrt{5}$ | C. | 2 | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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