12.設(shè)函數(shù)f(x)=-lnx+x2
(1)判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)求f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{4}$,$\frac{3}{4}$]上的最大值和最小值.

分析 (1)先求函數(shù)f(x)=-lnx+x2的定義域,再求導f′(x)=-$\frac{1}{x}$+2x=$\frac{(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x-1)}{x}$;從而由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由(1)知f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{4}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上是減函數(shù),在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{3}{4}$]上是增函數(shù),從而求閉區(qū)間上的最值.

解答 解:(1)f(x)=-lnx+x2的定義域為(0,+∞),
f′(x)=-$\frac{1}{x}$+2x=$\frac{(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x-1)}{x}$;
∴當x∈(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)時,f′(x)<0,
當x∈($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)時,f′(x)>0,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),單調(diào)增區(qū)間為($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞);
(2)由(1)知,
f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{4}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上是減函數(shù),在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{3}{4}$]上是增函數(shù),
fmax(x)=f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2,
f($\frac{1}{4}$)=$\frac{1}{16}$+ln4,f($\frac{3}{4}$)=$\frac{9}{16}$+ln4-ln3=$\frac{1}{16}$+ln4+$\frac{1}{2}$-ln3<$\frac{1}{16}$+ln4;
故fmin(x)=f($\frac{3}{4}$)=$\frac{9}{16}$+ln4-ln3.

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及閉區(qū)間上最值的求法,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.已知函數(shù)f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{{3^{-x}}-1,x≥0}\\{1-{3^x},x<0}\end{array}}$,則該函數(shù)是( 。
A.偶函數(shù),且單調(diào)遞增B.偶函數(shù),且單調(diào)遞減
C.奇函數(shù),且單調(diào)遞增D.奇函數(shù),且單調(diào)遞減

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3.若曲線C在頂點為O的角α的內(nèi)部,A、B分別是曲線C上相異的任意兩點,且α≥∠AOB,我們把滿足條件的最小角α叫做曲線C相對點O的“確界角”.已知O為坐標原點,曲線C的方程為y=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1+{x}^{2}},x≥0}\\{2-\sqrt{1-{x}^{2}},x<0}\end{array}\right.$,那么它相對點O的“確界角”等于( 。
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20.下列四個命題中是假命題的是( 。
A.在△ABC中,角A,B所對邊分別為a,b則sinA>sinB成立的充要條件是a>b
B.若命題p:?x∈(0,+∞),sinx-x<0,命題q:?x0∈(0,+∞),e${\;}^{{x}_{0}}$<0,則p∧¬q為真命題
C.若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,則存在唯一的實數(shù)λ,使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$
D.在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得k2=6.721,則有99%的把握確認這兩個變量間有關(guān)系;可以參考獨立性檢驗臨界表
P(K2≥k)0.0100.0050.001
k6.5357.87910.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.某中學為了解高三學生數(shù)學課程的學習情況,從全部2000名學生的數(shù)學考試成績中隨機抽取部分學生的考試成績進行統(tǒng)計分析,得到如下的樣本的頻率分布直方圖,已知成績在[80,90)的學生共有40人,則樣本中成績在[60,80)內(nèi)的人數(shù)為( 。
A.102B.104C.112D.114

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17.函數(shù)f(x)=2x+x-4的零點坐在的區(qū)間為( 。
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

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1.如函數(shù)f(x)=$\sqrt{2}$sin(ax+$\frac{π}{4}$)(a>0)的最小正周期為1,且g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{sinax(x<0)}\\{g(x-1)(x≥0)}\end{array}\right.$,則g($\frac{5}{6}$)等于( 。
A.-$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.-$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

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