Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=-lnx+x²．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)f（x）=-lnx+x²的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2x=$\frac{（\sqrt{2}x+1）（\sqrt{2}x-1）}{x}$；從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）知f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$]上是增函數(shù)，從而求閉區(qū)間上的最值．

解答 解：（1）f（x）=-lnx+x²的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2x=$\frac{（\sqrt{2}x+1）（\sqrt{2}x-1）}{x}$；
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）；
（2）由（1）知，
f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$]上是增函數(shù)，
f_max（x）=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{16}$+ln4，f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{16}$+ln4-ln3=$\frac{1}{16}$+ln4+$\frac{1}{2}$-ln3＜$\frac{1}{16}$+ln4；
故f_min（x）=f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{16}$+ln4-ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及閉區(qū)間上最值的求法，屬于中檔題．