Question

5．如 圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F、G 分別為 AB、BB₁、B₁C₁ 的中點．
（1）求證：A₁D⊥FG；
（2）求二面角 A₁-DE-A 的正切值．

Answer 1

分析 （1）連接B₁C、BC₁，則FG∥BC₁，再由A₁D∥B₁C，B₁C⊥BC₁，能證明A₁D⊥FG．
（2）過A作AH⊥ED于H，連接A₁H，推導(dǎo)出∠AHA₁是二面角A-DE-A₁的平面角，由此能求出二面角A₁-DE-A的正切值．

解答 證明：（1）連接B₁C、BC₁…（1分）
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
為F、G分別為BB₁、B₁C₁的中點，
∴FG∥BC₁…（2分）
又∵A₁D∥B₁C，B₁C⊥BC₁
∴A₁D⊥FG．…（4分）
解：（2）過A作AH⊥ED于H，連接A₁H…（5分）
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，
∴A₁A⊥ED
∵AH⊥ED∴ED⊥平面A₁AH…（6分）∴ED⊥A₁H，
∴∠AHA₁是二面角A-DE-A₁的平面角…（7分）
∵正方體的棱長為2，E為AB的中點，
∴AE=1，AD=2，
∴R_t△EAD中，$AH=\frac{AD•AE}{DE}=\frac{2×1}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
∴R_t△A₁AH中，$tan∠AH{A_1}=\frac{{{A_1}A}}{AH}=\frac{2}{{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}}=\sqrt{5}$…（9分）
∴二面角A₁-DE-A的正切值為$\sqrt{5}$．…（10分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．