Question

13．已知直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（ t 為參數(shù)），曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（r＞0，θ為參數(shù)）．
（1）當(dāng)r=1時(shí)，求C ₁ 與C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P 為曲線 C₂上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)r=$\sqrt{2}$時(shí)，求點(diǎn)P 到直線C₁距離最大時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）參數(shù)方程化為普通方程，即可求C ₁ 與C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用圓的參數(shù)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)公式，即可求點(diǎn)P 到直線C₁距離最大時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（ t 為參數(shù)）的普通方程為y=x-1，當(dāng)r=1時(shí)，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（r＞0，θ為參數(shù)）的普通方程為x²+y²=1．
聯(lián)立方程，可得C ₁ 與C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（0，-1）；
（2）設(shè)P（$\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ$），則點(diǎn)P 到直線C₁距離d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2cos（θ+\frac{π}{4}）-1|}{\sqrt{2}}$
當(dāng)cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1，即θ=$\frac{3π}{4}$+2kπ（k∈Z）時(shí)，d_max=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)P（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化為普通方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．