Question

15．如圖，點(diǎn)P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對(duì)角線BC₁（線段BC₁）上運(yùn)動(dòng)，給出下列五個(gè)命題：
①直線AD與直線B₁P為異面直線；
②A₁P∥平面ACD₁；
③三棱錐A-D₁PC的體積為定值；
④面PDB₁⊥面ACD₁；
⑤直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變．
其中真命題的編號(hào)為①②③④．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)于①，根據(jù)異面直線的判定定理，可得結(jié)論；
對(duì)于②，連接A₁B，A₁C₁容易證明平面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；
對(duì)于③，容易證明AD₁∥BC₁，從而B(niǎo)C₁∥平面AD₁C，以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，易得；
對(duì)于④，容易證明PDB₁⊥面ACD₁，從而可以證明面面垂直；
對(duì)于⑤，可以從向量的角度進(jìn)行判斷；

解答 解：對(duì)于①：AD∥平面B₁C₁CB，B₁P?平面B₁C₁CB，B₁P與AD不平行，故直線AD與直線B₁P為異面直線；①正確；
對(duì)于②：連接A₁B，A₁C₁，可得平面BA₁C₁∥面ACD₁，∵A₁P?平面BA₁C₁，故A₁P∥平面ACD₁；②正確；
對(duì)于③：容易證明AD₁∥BC₁，從而B(niǎo)C₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，則三棱錐A-D₁PC的體積不變；③正確；

對(duì)于④：連接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
可得DB₁⊥面ACD₁，從而由面面垂直的判定知，故④正確；
對(duì)于⑤：∵隨著P點(diǎn)的移動(dòng)，$\overrightarrow{AP}$與平面ACD₁的法向量的夾角也是變化的，∴⑤錯(cuò)誤
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐體積求法中的等體積法；線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想．