Question

6．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與x軸在原點相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域（如圖陰影部分）的面積為$\frac{1}{12}$，則a的值為-1．

Answer 1

分析 由x=0是f（x）=0的一個極值點，可得f′（0）=0，求得b的值，確定出f（x）的解析式，由于陰影部分面積為$\frac{1}{12}$，利用定積分求面積的方法列出關(guān)于a的方程求出a并判斷a的取舍即可

解答 解：由f（x）=-x³+ax²+bx，得f′（x）=-3x²+2ax+b．
∵x=0是原函數(shù)的一個極值點，∴f′（0）=b=0．
∴f（x）=-x²（x-a），有∫_a⁰（x³-ax²）dx=（$\frac{1}{4}{x}^{4}-\frac{1}{3}a{x}^{3}$）|_a⁰=0-$\frac{{a}^{4}}{4}+\frac{{a}^{4}}{3}$=$\frac{{a}^{4}}{12}$=$\frac{1}{12}$，
∴a=±1．
函數(shù)f（x）與x軸的交點橫坐標一個為0，另一個a，根據(jù)圖形可知a＜0，得a=-1．
故答案為：-1．

點評 本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及定積分的運算法則，同時考查了計算能力和識圖能力，屬于中檔題．