Question

18．已知曲線Γ：y=e^x和直線l：y=kx，若直線l上有且只有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在曲線Γ上，則k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-e）
• B． （-∞，-e]
• C． （-e，0）
• D． [-e，0）

Answer 1

分析 求出l關(guān)于y軸的對(duì)稱直線方程，把直線l上有且只有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在曲線Γ：y=e^x上，轉(zhuǎn)化為直線y=-kx與y=e^x有兩個(gè)交點(diǎn)，然后求出過原點(diǎn)與曲線Γ：y=e^x相切的直線的斜率得答案．

解答 解：直線l：y=kx關(guān)于y軸的對(duì)稱直線方程為y=-kx，
要使直線l上有且只有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在曲線Γ：y=e^x上，
則直線y=-kx與y=e^x有兩個(gè)交點(diǎn)，
如圖，設(shè)過原點(diǎn)的直線切曲線y=e^x于P（${x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}$），
由y=e^x，得y′=e^x，∴$y′{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
則切線方程為y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$（x-x₀），
把O（0，0）代入，可得x₀=1，
∴切線的斜率k=e¹=e，
∴-k＞e，則k＜-e．
∴k的取值范圍是（-∞，-e）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．