Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax在[2，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，4+2$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{ax+1}$+3x²-2x-a=$\frac{x[3{ax}^{2}+（3-2a）x-{（a}^{2}+2）]}{ax+1}$，
因?yàn)閒（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
①若a=0，則f′（x）=x（3x-2），
此時(shí)f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)成立，故a=0符合題意，
②若a≠0，由ax+1＞0對x＞2恒成立知a＞0，
所以3ax²+（3-2a）x-（a²+2）≥0對x∈[2，+∞）上恒成立，
令g（x）=3ax²+（3-2a）x-（a²+2），其對稱軸為x=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2a}$，
因?yàn)閍＞0，所以$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{3}$，從而g（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
所以只要g（2）≥0即可，即-a²+8a+4≥0成立，
解得4-2$\sqrt{5}$≤a≤4+2$\sqrt{5}$，又因?yàn)閍＞0，所以0＜a≤4$+2\sqrt{5}$，
綜上：0≤a≤4+2$\sqrt{5}$即為所求，
故答案為：[0，4+2$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．