【題目】在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點.
(1)求證:BD⊥EG;
(2)求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.
【答案】
(1)解法1
證明:∵EF⊥平面AEB,AE平面AEB,∴EF⊥AE,
又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF平面BCFE,
∴AE⊥平面BCFE.
過D作DH∥AE交EF于H,則DH⊥平面BCFE.
∵EG平面BCFE,
∴DH⊥EG.
∵AD∥EF,DH∥AE,∴四邊形AEHD平行四邊形,
∴EH=AD=2,
∴EH=BG=2,又EH∥BG,EH⊥BE,
∴四邊形BGHE為正方形,
∴BH⊥EG,
又BH∩DH=H,BH平面BHD,DH平面BHD,
∴EG⊥平面BHD.
∵BD平面BHD,
∴BD⊥EG.
解法2
證明:∵EF⊥平面AEB,AE平面AEB,BE平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE,
又AE⊥EB,∴EB,EF,EA兩兩垂直.
以點E為坐標原點,EB,EF,EA分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0).
∴ , ,
∴ ,
∴BD⊥EG.
(2)解:∵AE⊥平面BCFE,AE平面AEFD,∴平面AEFD⊥平面BCFE
由(1)可知GH⊥EF,∴GH⊥平面AEFD
∵DE平面AEFD,∴GH⊥DE
取DE的中點M,連接MH,MG
∵四邊形AEHD是正方形,∴MH⊥DE
∵MH∩GH=H,MH平面GHM,GH平面GHM,∴DE⊥平面GHM,∴DE⊥MG
∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角,
在△GMH中, ,∴
∴平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為 .
解法2
解:由已知得 是平面DEF的法向量.
設平面DEG的法向量為 ,
∵ ,
∴ ,即 ,令x=1,得 .…
設平面DEG與平面DEF所成銳二面角的大小為θ,
則 …
∴平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為 .…
【解析】解法1(1)證明BD⊥EG,只需證明EG⊥平面BHD,證明DH⊥EG,BH⊥EG即可;(2)先證明∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角,再在△GMH中,利用余弦定理,可求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值;
解法2(1)證明EB,EF,EA兩兩垂直,以點E為坐標原點,EB,EF,EA分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系用坐標表示點與向量,證明 ,可得BD⊥EG;(2)由已知得 是平面DEF的法向量,求出平面DEG的法向量 ,利用向量的夾角公式,可求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.
【考點精析】利用直線與平面垂直的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列判斷正確的是( )
A.若事件A與事件B互斥,則事件A與事件B對立
B.函數y= (x∈R)的最小值為2
C.若直線(m+1)x+my﹣2=0與直線mx﹣2y+5=0互相垂直,則m=1
D.“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的充分不必要條件
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,菱形ABCD的邊長為12,∠BAD=60°,AC與BD交于O點.將菱形ABCD沿對角線AC折起,得到三棱錐B﹣ACD,點M是棱BC的中點,DM=6 .
(I)求證:平面ODM⊥平面ABC;
(II)求二面角M﹣AD﹣C的余弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為 (t為參數),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=6sinθ.
(1)求圓C的直角坐標方程;
(2)若點P(1,2),設圓C與直線l交于點A,B,求|PA|+|PB|的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知定義在(0,+∞)上的函數 ,其中a>0.設兩曲線y=f(x)與y=g(x)有公共點,且在公共點處的切線相同.則b的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖是某班甲、乙兩位同學在5次階段性檢測中的數學成績(百分制)的莖葉圖,甲、乙兩位同學得分的中位數分別為x1 , x2 , 得分的方差分別為y1 , y2 , 則下列結論正確的是( )
A.x1<x2 , y1<y2
B.x1<x2 , y1>y2
C.x1>x2 , y1>y2
D.x1>x2 , y1<y2
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知等差數列{an}中,a1=1,且a1 , a2 , a4+2成等比數列.
(1)求數列{an}的通項公式及其前n項和Sn;
(2)設 ,求數列{bn}的前n項和Tn .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某市需對某環(huán)城快速車道進行限速,為了調研該道路車速情況,于某個時段隨機對 輛車的速度進行取樣,測量的車速制成如下條形圖:
經計算:樣本的平均值 ,標準差 ,以頻率值作為概率的估計值.已知車速過慢與過快都被認為是需矯正速度,現規(guī)定車速小于 或車速大于 是需矯正速度.
(1)從該快速車道上所有車輛中任取 個,求該車輛是需矯正速度的概率;
(2)從樣本中任取 個車輛,求這 個車輛均是需矯正速度的概率
(3)從該快速車道上所有車輛中任取 個,記其中是需矯正速度的個數為 ,求 的分布列和數學期望.
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