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18.已知函數f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}$.
(1)求f(x)的定義域;
(2)求f(x)的值域.

分析 (1)根據對數的性質可知,真數要大于0,可得f(x)的定義域;
(2)設u=-x2+2x+8,對數的底數小于1,根據性質可知,函數f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$是減函數,求出u的值域,可得函數f(x)的值域.

解答 解:(1)函數f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}$.
定義域需滿足:$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}>0$,即-x2+2x+8>0
解得:-2<x<4
∴f(x)的定義域為{x|-2<x<4}
(2)設u=-x2+2x+8,對數的底數小于1,根據性質可知,函數f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$是減函數,
函數u=-x2+2x+8=-(x+1)2+9,t=$\sqrt{u}$
∴0<u≤9
∴0<t≤3,
∵f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$在(0,+∞)減函數,
∴f(x)的值域是[$lo{g}_{\frac{1}{2}}3$,+∞)

點評 本題考查了不等式的計算和對數的性質的運用,單調性的求解值域的問題.屬于基礎題.

練習冊系列答案
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