Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{3}$+$\frac{_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{3}^{n}}$=a_n-1（n∈N^*），求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，等比中項的性質(zhì)列出方程組，求出a₁、d的值，代入等差數(shù)列的通項公式即可求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡已知的式子，令n取n-1代入化簡得到另外一個式子，兩個式子相減后求出b_n，代入nb_n化簡，利用錯位相減法和等比數(shù)列前n項和公式求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）依題意得，$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d+5{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=50}\\{（{a}_{1}+3d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+12d）}\end{array}\right.$        …（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，…（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1    …（5分）
（Ⅱ）由（I）得，$\frac{_{1}}{3}+\frac{_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{_{n}}{{3}^{n}}=2n$，
當n≥2時，$\frac{_{1}}{3}+\frac{_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{_{n-1}}{{3}^{n-1}}=2n-2$，
兩式相減得，$\frac{_{n}}{{3}^{n}}=2$，則b_n=2•3ⁿ（n≥2）…（7分）
當n=1時滿足上式，
所以b_n=2•3ⁿ（n∈N^*），∴nb_n=2n•3ⁿ（n∈N^*），
T_n=2•3¹+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，
∴3T_n=2•3²+4•3³+6•3⁴+…+2n•3ⁿ⁺¹，…（9分）
兩式相減得，-2T_n=2•3¹+2•3²+2•3³+…+2•3ⁿ-2n•3ⁿ⁺¹
=2（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹
=$2×\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-2n•3ⁿ⁺¹=（1-2n）•3ⁿ⁺¹-3，…（11分）
∴T_n=$\frac{（2n+1）•{3}^{n+1}+3}{2}$．…（12分）

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，等比中項的性質(zhì)，等比數(shù)列前n項和公式，以及錯位相減法求數(shù)列的和，考查方程思想，化簡、變形能力．