Question

2．若關(guān)于x的方程：x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，2）
• B． （2$\sqrt{2}$，4）
• C． （0，2）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 根據(jù)關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式等于0，表示出a，利用正弦函數(shù)的值域求出a的范圍即可．

解答 解：∵關(guān)于x的方程：x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=16sin²θ-4atanθ=0，即16sin²θ-4a$\frac{sinθ}{cosθ}$=0，
整理得：4sinθ-$\frac{a}{cosθ}$=0，即a=4sinθcosθ=2sin2θ，
∵$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜2θ＜π，
∴0＜sin2θ＜1，即0＜2sin2θ＜2，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，2），
故選：C．

點(diǎn)評 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．