Question

18．（1）橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求橢圓E的方程；
（2）求經(jīng)過M（2，$\sqrt{2}$），N（$\sqrt{6}$，1）兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，其中m，n＞0，m≠n．把M（2，$\sqrt{2}$），N（$\sqrt{6}$，1）代入可得：$\frac{4}{m}+\frac{2}{n}$=1，$\frac{6}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，聯(lián)立解得即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得b=1，a²=2．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，其中m，n＞0，m≠n．
把M（2，$\sqrt{2}$），N（$\sqrt{6}$，1）代入可得：$\frac{4}{m}+\frac{2}{n}$=1，$\frac{6}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，
聯(lián)立解得m=8，n=4．
∴經(jīng)過M（2，$\sqrt{2}$），N（$\sqrt{6}$，1）兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．