Question

15．如圖，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上頂點(diǎn)為A（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)A作圓M：（x+1）²+y²=r²（0＜r＜1）的兩條切線分別與橢圓C相交于點(diǎn)B，D（不同于點(diǎn)A）．當(dāng)r變化時(shí)，試問直線BD是否過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的上頂點(diǎn)為A（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)切線方程為y=kx+1，則（1-r²）k²-2k+1-r²=0，設(shè)兩切線AB，AD的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），k₁•k₂=1，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得：（1+4k²）x²+8kx=0，由此能求出直線BD方程，進(jìn)而得到直線BD過定點(diǎn)．

解答 （本小題滿分為15分）
解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上頂點(diǎn)為A（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴由已知可得，$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．（5分）
（Ⅱ）設(shè)切線方程為y=kx+1，則$\frac{|1-k|}{{1+{k^2}}}=r$，即（1-r²）k²-2k+1-r²=0，
設(shè)兩切線AB，AD的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），
則${k}_{1}，{{k}_{2}}^{\;}$是上述方程的兩根，∴k₁•k₂=1，（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得：（1+4k²）x²+8kx=0，
∴${x_1}=\frac{{-8{k_1}}}{1+4k_1^2}，{y_1}=\frac{1-4k_1^2}{1+4k_1^2}$，
同理可得：${x_2}=\frac{{-8{k_2}}}{1+4k_2^2}=\frac{{-8{k_1}}}{k_1^2+4}，{y_2}=\frac{1-4k_2^2}{1+4k_2^2}=\frac{k_1^2-4}{k_1^2+4}$，（12分）
∴${k_{BD}}=\frac{{\frac{k_1^2-4}{k_1^2+4}-\frac{1-4k_1^2}{1+4k_1^2}}}{{\frac{{-8{k_1}}}{k_1^2+4}-\frac{{-8{k_1}}}{1+4k_1^2}}}=-\frac{k_1^2+1}{{3{k_1}}}$，
于是直線BD方程為$y-\frac{1-4k_1^2}{1+4k_1^2}=-\frac{k_1^2+1}{{3{k_1}}}（x-\frac{{-8{k_1}}}{1+4k_1^2}）$，
令x=0，得$y=\frac{1-4k_1^2}{1+4k_1^2}+\frac{k_1^2+1}{{3{k_1}}}×\frac{{-8{k_1}}}{1+4k_1^2}=\frac{-5-20k_1^2}{3（1+4k_1^2）}=-\frac{5}{3}$，
故直線BD過定點(diǎn)$（0，-\frac{5}{3}）$．（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線方程、韋達(dá)定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．