Question

6．一化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其生產(chǎn)成本為20元/kg，出廠價為50元/kg，在生產(chǎn)1kg這種產(chǎn)品的同時，還生產(chǎn)1.5m³的污水，污水的處理有兩種方式：一種是直接排入河流，另一種是輸送到污水處理廠，環(huán)保部門對排入河流的污水收費標準是15元/m³，污水處理廠對污水的收費標準是5元/m³，但只能凈化污水的80%，未凈化的污水仍排入河流，且污水排放費仍要生產(chǎn)產(chǎn)品的化工廠支付，若污水處理廠處理污水的最大能力是1m³/min，環(huán)保部門允許該廠的污水排入河流的最大排放量為0.4m³/min，問：該化工廠每分鐘生產(chǎn)多少產(chǎn)品，每分鐘直接流入河流的污水為多少時，純利潤最高？

Answer 1

分析 設(shè)每分鐘生產(chǎn)產(chǎn)品x kg，因此產(chǎn)生污水x m³，其中y m³直接排入河流，該化工廠每分鐘的純利潤為z，建立約束條件和目標函數(shù)，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：設(shè)每分鐘生產(chǎn)產(chǎn)品x kg，因此產(chǎn)生污水x m³，其中y m³直接排入河流，該化工廠每分鐘的純利潤為z，
則即$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{3}{2}-y≤1}\\{y+（\frac{3}{2}x-y）×\frac{1}{5}≤\frac{2}{5}}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤3x-2y≤2}\\{3x+8y≤4}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
目標函數(shù)z=（50-20x）-15[y+（$\frac{3}{2}$x-y）$•\frac{1}{5}$]-5（$\frac{3}{2}$x-y）=18x-7y．
由圖象可知當直線z=18x-7y經(jīng)過點B時，z有最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=2}\\{3x+8y=4}\end{array}\right.$得B（$\frac{4}{5}$，$\frac{1}{5}$），
即當x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{1}{5}$時，z取得最大值z=13，
即當每分鐘生產(chǎn)0.8kg產(chǎn)品，每分鐘直接流入河流的污水為0.2m³時，純利潤最高．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，設(shè)出變量求出目標函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．