Question

【題目】已知公差大于0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求的表達(dá)式；

（3）若，存在非零常數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，存在，不等式成立，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的基本量，結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)，列出方程，求得首項(xiàng)和公差，則問題得解；

（2）討論的正負(fù)，分類討論，即可求得；

（3）根據(jù)（1）中所求可得，根據(jù)其為等差數(shù)列，求得，將問題轉(zhuǎn)化為存在性問題，即可求得的取值范圍.

（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，故可得，

結(jié)合，容易得或，

因?yàn)?/span>，故可得，則，

解得，，故.

故.

（2）根據(jù)（1）中所求，令，解得，

故數(shù)列的前項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第8項(xiàng)開始都為正數(shù).

當(dāng)時，；

當(dāng)時，

.

綜上所述：.

（3）由（1）中所求，可知，

故可得，因?yàn)榇嬖诜橇愠��?shù)，使得其為等差數(shù)列，

故可得，即，

整理得，解得，舍去.

故.

則存在，不等式成立

等價于存在，不等式成立.

則只需，

根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，且當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

故的最小值為.

則即可.