Question

11．一動(dòng)圓與圓x²+y²-2x=0外切，同時(shí)與y軸相切，動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點(diǎn)P（4，0）的直線L與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求解曲線C的方程即可；
（2）設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，證明x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答 解：（1）圓x²+y²-2x=0化為（x-1）²+y²=1的圓心C（1，0），
與圓x²+y²-2x=0外切，同時(shí)與y軸相切的動(dòng)圓圓心滿足：到定點(diǎn)C（1，0）與到定直線x=-1的距離相等，
因此與圓x²+y²-2x=0外切，同時(shí)與y軸相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是拋物線：y²=4x．
（2）依題意可設(shè)過P的直線l方程為：x=my+4（m∈R），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線代入y²=4x得：y²-4my-16=0，
依題意可知△＞0恒成立，且y₁•y₂=-16，
所以x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{16}$（y₁•y₂）²+y₁•y₂=0．
所以以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢拋物線的位置關(guān)系，拋物線方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．