Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知f（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，且α∈（-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{4}$），求$\frac{1+sin2α+cos2α}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出A，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），代入方程求出φ，然后求f（x）的解析式；
（2）結(jié)合角的范圍可求sin（$\frac{π}{4}$-α），tan（$\frac{π}{4}$-α），從而可求tanα，由萬(wàn)能公式即可得解．

解答 解：（1）依題意有A=1，則f（x）=sin（x+φ），
將點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）代入得sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，
而0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{5}{6}$π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
故f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
（2）∵f（$\frac{π}{4}$-α）=cos（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，α∈（-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$-α∈（$\frac{π}{2}$，π），sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，tan（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{sin（\frac{π}{4}-α）}{cos（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{tan\frac{π}{4}-tanα}{1+tan\frac{π}{4}tanα}$=-$\frac{3}{4}$，
可解得：tanα=7，
∴$\frac{1+sin2α+cos2α}{1+tanα}$=$\frac{1+\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}+\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}}{1+tanα}$=$\frac{1+\frac{14}{50}-\frac{48}{50}}{8}$=$\frac{1}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，屬于基本知識(shí)的考查．