Question

20．已知函數(shù)f（x）=-（x-2m）（x+m+3）（其中m＜-1），g（x）=2^x-2．
（Ⅰ）若命題p：log₂[g（x）]≥1是假命題，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若命題q：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把g（x）代入log₂[g（x）]≥1，求解對數(shù)不等式和指數(shù)不等式得到x的范圍，取補集得答案；
（Ⅱ）由題意知?x∈（1，+∞），g（x）＜0為假命題，則?x∈（1，+∞），f（x）＜0為真命題，然后利用三個二次結(jié)合列關(guān)于m的不等式組得答案．

解答 解：（Ⅰ）由log₂[g（x）]≥1，得log₂（2^x-2）≥1，即2^x-2≥2，解得x≥2．
若命題p：log₂[g（x）]≥1是假命題，則1＜x＜2；
（Ⅱ）∵?x∈（1，+∞），g（x）=2^x-2＞0，
∴若命題q：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0為真命題，則
?x∈（1，+∞），f（x）＜0，即
?x∈（1，+∞），-（x-2m）（x+m+3）＜0，也就是（x-2m）（x+m+3）＞0．
即$\left\{\begin{array}{l}{2m≥-m-3}\\{2m≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-m-3≥2m}\\{-m-3≤1}\end{array}\right.$，
解得：-4≤m＜-1．

點評 本題考查命題的真假判斷，考查了不等式恒成立問題，訓(xùn)練了利用“三個二次”的結(jié)合求解參數(shù)的范圍，屬中檔題．